5.5 Нормальное распределение (распределение Гаусса)

5.5 Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальное распределение (распределение Гаусса) используется при оценке надежности изделий, на которые воздействует ряд случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на результирующий эффект (нет доминирующих факторов). Доказывается [3], что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) СВ, подчиненных каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых нежестких ограничений), приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее количество СВ суммируется. Основное ограничение, налагаемое на суммируемые СВ, состоит в том, чтобы они все равномерно играли в общей сумме относительно малую роль. Если это условие не выполняется и, например, одна из СВ окажется по своему влиянию на сумму резко превалирующей над всеми другими, то закон распределения этой превалирующей СВ наложит свое влияние на сумму и определит в основных чертах ее закон распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется частотой отказов a (t) или плотностью вероятности отказов f (t) вида:

55,       (5.36)

где σ– среднеквадратическое отклонение СВ x;

mx – математическое ожидание СВ x. Этот параметр часто называют центром рассеивания или наиболее вероятным значением СВ Х.

x – случайная величина, за которую можно принять время, значение тока, значение электрического напряжения и других аргументов.

Нормальный закон – это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать mx и σ.

Вероятность безотказной работы при данном законе распределения определяется по формуле:

55.  (5.37)

Интенсивность отказов можно определить по следующей формуле:

55. (5.38)

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид (рисунок 5.9).

Выясним, как влияет на форму и расположение нормальной кривой значения параметров т и σ. Из формулы (5.36) видно, что центром симметрии распределения является центр рассеивания т. Это ясно из того, что при изменении знака разности (х — т) на обратный результат в выражении (5.36) не меняется. Если изменять центр рассеивания т, кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы (рисунок 5.10).

55

Рисунок 5.9 – Кривая распределения нормального

закона

55

Рисунок 5.10 — Смещение кривой нормального распределения с изменением т

Размерность центра рассеивания — та же, что и размерность случайной величины Х.

Параметр σ (среднее квадратическое отклонение) характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. С увеличением σ кривая растягивается и становится более плоской, с уменьшением σ она вытягивается вверх и сжимается. Это объясняется тем, что площадь под кривой распределения всегда остается равной единице, несмотря на изменение максимума плотности вероятности. На рисунке 5.11 показаны три нормальные кривые при различных σ.

55

Рисунок 5.11 – Изменение формы кривой распределения с изменением σ

Размерность параметра σ совпадает с размерностью СВ   Х. Во многих задачах практики приходится определять вероятность попадания СВ Х, подчиненной нормальному закону с произвольными параметрами m и σ на участок от α до β. Для вычисления этой вероятности используют общую формулу:

P (α < X < β) = F (β) – F (α),             (5.39)

где F (х) – функция распределения величины  Х.

С помощью математических преобразований получаем, что:

55

где 55— интеграл вероятностей, который рассчитывается следующим образом:

55

Принято называть функцию 55также нормальной (нормированной) функцией распре-деленияили стандартной функцией распределения.

Согласно формуле (5.39) выразим вероятность попадания СВ X на участок от α до β:

55

Таким образом, получили вероятность попадания на интересующий нас участок СВ X, распределенной по нормальному закону с любыми параметрами,  через стандартную функцию распределения 55, которая соответствует простейшему нормальному законус параметрами т = 0 и σ = 1.

Заметим, что аргументы функции 55 в формуле (5.42) имеют очень простой смысл: 55 есть расстояние от правого конца участка до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях; 55— такое же расстояние до левого конца участка α, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.

—————————————————————————————————————————————

Существенно снизить расходы на содержание офиса может не только хороший секретарь, но и правильное освещение офиса. Все чаще и чаще в этом вопросе выбор приборов для освещения падает на современные энергосберегающие светодиодное освещение, которое, при той же светоотдаче, гораздо менее энергоемко и долговечно.

—————————————————————————————————————————————

<< Предыдущая Содержание Следующая >>

Еще по теме

Один комментарий на “5.5 Нормальное распределение (распределение Гаусса)”

  • Алексей:

    Определение среднего роста жителей населенного пункта по методу инженера Седых или один из вариантов использования закона нормального распределения для практических целей.

    Если вы верите в существование закона нормального распределения, знаете свой рост и вам случайно попалась на глаза эта статья — вы можете в один момент стать единоличным обладателем какой-либо полезной информации. Например, о среднем росте жителей населённого пункта, куда вас однажды случайно занесёт. Токио…Моршанск…Стамбул…А почему бы и нет?..

    Ещё одно необходимое условие, которое должно привести к успеху — это наличие в упомянутом городке общественного транспорта. Как минимум, пары-тройки обшарпанных и скрипучих вагонов трамвая. Конечно, многие уже успели догадаться, что если в конечном пункте вашей командировки нет ни рельсов, ни электропроводов, красиво намотанных на металлические пантографы, то вы можете смело констатировать: общественного транспорта тут нет. И утром возвращаться домой. Ну не будет же местная администрация лишь ради прихоти какого-то случайного командированного срочно прокладывать скоростную трамвайную ветку до губернского центра?..

    Если вы до сих пор не передумали, следуйте таким указаниям:

     Зайдите в вагон остановившегося трамвая и, приобретя билет, внимательно исследуйте трубу-стойку, являющуюся элементом каркаса и собственностью ТТУ, а также предназначенную для удерживания стоящих пассажиров с помощью одной и более рук во время движения. Как правило, это труба диаметром около 40мм. Особое внимание следует обратить на участок длиной 300-350мм, расположенный на высоте около 1.5м от пола. Труба здесь довольно сильно истёрта цепкими ладонями пассажиров и наиболее интенсивно эта истёртость наблюдается в середине участка, плавно убывая кверху и книзу. То есть, истёртость формой своей напоминает эллипс или овал, вытянутый по вертикали.

     Помня, что Нж — это средний рост жителей города, а Нэ – это рост экспериментатора, то есть ваш собственный рост, возьмитесь рукой за трубу-стойку так, чтобы ладонь крепко и удобно обхватила её. Во время движения трамвая постарайтесь не раскачивать или гнуть трубу, так как она – не ваша. При этом возможны три варианта:

    1) Ладонь расположилась на середине истёртого овала. В этом случае средний рост жителей города Нж = Нэ.

    2) Ладонь легла на расстоянии а выше этой середины. В этом случае Нж = Нэ – а.

    3) Ладонь легла на расстоянии а ниже середины овала. В этом случае Нж = Нэ + а.

    Вот и всё. С этого момента вы стали чуть-чуть задумчивее и молчаливее. Теперь не забудьте поделиться радостью с родными, близкими и с нами.

    Р.S. Автор просит прощения за то, что идея изложена в шутливом тоне. Но от этого замечательный закон вряд ли перестанет существовать…

    © Седых А.А., 2000г

Оставить комментарий