Виды уравнений и математическое описание элементов систем

3.1 Виды уравнений

Рассмотрим техническую систему,   работающую в режиме вкл/выкл. В этом случае в момент включения и выключения наблюдается изменение выходного сигнала, а при постоянном задании входного сигнала с течением времени наблюдается постоянное значение выходного сигнала.

Эти режимы работы  описываются двумя видами уравнений:

— уравнения для установившихся режимов работы – уравнения статики;

— уравнения для переходных режимов работы – уравнения динамики, описывающие изменяющиеся процессы в элементах и системе в целом.

Для нормально работающей системы, когда на входе и выходе каждого элемента существует постоянное значение Х и У, записывается уравнение статики:

Ууст = К*Хуст,

где  Хуст,Ууст – установившееся значение входного и выходного сигнала;

К – коэффициент передачи.

Уравнение статики описывает статическую характеристику, которая является линейной зависимостью.

Уравнение динамики – это дифференциальное уравнение (ДУ) с постоянными коэффициентами, которое описывает процессы в механических, электромеханических и электрических цепях  технической системы УЧПУ – МРС.

Уравнения динамики представлены 3 – мя формами:

  1. Классическая;
  2. Операторная;

3 Операционная.

Классическая форма ДУ в качестве переменной имеет текущее время t, в функции которого задаются входные и вычисляются выходные сигналы.

Операторная форма – это уравнение, где переменной является оператор p = d/dt.

Операционная форма аналогична формально операторной форме, где в качестве переменной s = p.

При моделировании любое ДУ стараются свести к стандартной форме записи, где выходной сигнал и его производные расположены в левой части, а входной сигнал – в правой части.

Представим две наиболее часто встречающиеся стандартные формы ДУ 1-го и 2-го порядков:

T*dy (t)/dt   +  y (t) = k*x (t),

T²*d²y (t)/dt²   +2*Dо*T*dy (t)/dt  + y (t) = k*x (t),

где k – коэффициент передачи;

Т – постоянная времени;

Dо – коэффициент демпфирования;

х(t), у(t) – входной и выходной сигналы в функции времени.

Если в технической системе возникают переходные процессы по у(t), то dy (t)/dt – скорость изменения выходного сигнала, d²y (t)/dt²   – ускорение.

Константа Т характеризует инерционность переходных процессов.

Константа К определяет установившееся значение выходного сигнала.

Константа Dо определяет величину колебаний выходного сигнала относительно установившегося значения.

Операторная форма  уравнения записывается при замене р = d/dt:

T*р*Y (р)   +  Y (р) = k*X (р),

T²*р²*Y (р) +2*Dо*T*р*Y (р)  + Y (р) = k*X (р).

В этом случае получено алгебраическое уравнение, где X (р),Y (р) – условное обозначение входа и выхода и р – переменная (оператор).

Из операторной формы можно получить математическую модель (ММ), которая называется передаточной функцией (ПФ):

W (р) = Y (р)/X (р).

Выше приведенные уравнения дают следующие передаточные функции:

W (р) = k / (T*p + 1)
W (р) = k /(T²*р² +2*Dо*T *р + 1).

При моделировании в среде программы Matlab (s = p) эти ММ представлены tf – формой или zpk – формой.

Для tf – формы МО представляется в виде передаточной функции, где числитель и знаменатель это полиномы:

W (s) = (b2 s² + b1 s + bo) / (c2 s² + c1 s + co),

где bi, сi – коэффициенты полиномов;
s – переменная.

Для  zpk – формы МО представляется в виде нулей, полюсов и обобщенного коэффициента передачи:

H (s) = K*(s-z1)*(s – z2) ….(s — zm) / (s – p1)*(s – p2)….(s –  pn),

где zi, pi и К – нуль, полюс и обобщенный коэффициент передачи.

Третьей формой МО элементов является уравнение состояний или векторно-матричное уравнение.

Векторно-матричное уравнение может быть получено из дифференциального уравнения элемента или системы.

Векторно-матричное уравнение используется при проектировании регуляторов технических систем (см. раздел  13).

—————————————————————————————————————————————

Хорошей альтернативой углам и переходам при монтаже труб является трубогиб. Он позволяет изгибать трубы различного диаметра под разными углами, что существенно упрощает монтаж трубной системы там, где трудно сделать качественный сварной шов.

—————————————————————————————————————————————

Еще по теме

Оставить комментарий